সম্প্রতি কৃতি ছাত্রছাত্রীদের সামনে একটি আলোচনায় এসেছে বাইনোমিয়াল ক্যালকুলাসের কথা। আলোচক বলেছেন, ‘বাইনোমিয়াল ক্যালকুলাস আমাদের দেশে তৈরি হয়েছে’। বক্তব্যে পুরোপুরি সত্য ধরা পড়লো কি? সাধারণ ভাবে বাইনোমিয়াল ক্যালকুলাসের জনক ধরা হয় নিউটনকে। কিন্তু হার্ভার্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের জে এল কুলিজ (J L Coolidge) তাঁর The story of the Binomial theorem গবেষণাপত্রে (The American Mathematical monthly, vol 56, no.3, 1949, p 147-157) যে তথ্য রেখেছেন, তাতে কোনওভাবে নিউটনকে এর আবিষ্কারক বা উদ্ভাবক বলা যায় না। কুলিজ পরিষ্কার লিখেছেন, ‘most people associate it vaguely in their Minds with the name of Newton; he either invented it or it was carved on his tomb.’ অর্থাৎ বেশিরভাগ মানুষই মনে মনে এটিকে ভাসা ভাসা ভাবে নিউটনের নামের সঙ্গে যুক্ত করেন এই ভেবে, হয় তিনি এটি আবিষ্কার করেছিলেন, অথবা এটি তার সমাধিতে খোদাই করা ছিল। কিন্তু তা কি সত্যি? নাকি সত্যি একাংশের ভারতীয়দের দাবি। আসুন, তলিয়ে দেখি।

শুরু ইউক্লিডের হাতে

আমরা প্রথম বাইনোমিয়াল থিওরেম বা দ্বিপদ উপপাদ্য সম্পর্কে ধারণা পাই ‘ইউক্লিড’ থেকে। ইউক্লিড খ্রিস্টপূর্ব  চতুর্থ থেকে তৃতীয় শতকের মাঝামাঝি সময়ের গ্রিক গণিত ও জ্যামিতিবিদ। তাঁর বিখ্যাত বই ‘এলিমেন্টস’। ইউক্লিডে আছে ‘If a straight line be cut at random, the square on the whole is equal to the squares on the segments and twice the rectangle of the segments’। অর্থাৎ একটি সরলরেখাকে যদি যথেচ্ছ স্থানে কেটে ভাগ করা যায় তবে সমগ্র অংশটির বর্গ হবে খণ্ডিত অংশ দুটির বর্গ এবং খণ্ডিত অংশ দুটিকে নিয়ে তৈরি আয়তক্ষেত্রের দ্বিগুণের সমান। বীজগণিতের ভাষায় খণ্ডিত অংশ দুটি a ও b হলে— 

(a+b)² = a² + b² + 2ab

ইউক্লিডে আরও আছে, ‘If straight line be cut at random, the square on the whole and that on one of the segments both together are equal to twice the rectangle content by the whole and said segment and the square on the remaining segment.’

অর্থাৎ, যদি কোন সরলরেখাকে যেকোন স্থানে দ্বিখন্ডিত করা হয়, তবে সমগ্র সরলরেখা এবং কর্তৃক একটি অংশের বর্গদ্বয়ের যোগফল হবে সমগ্র সরলরেখা এবং কর্তিত একটি অংশের সমন্বয়ে গঠিত আয়তক্ষেত্রের দ্বিগুণ এবং পড়ে থাকা অন্য অংশটির বর্গের যোগফলের সমান। এই বিষয়টিকে বীজগণিতের আকারে লিখতে পারা যায়। ধরে নিই সমগ্র অংশটি a এবং খন্ডিত একটি অংশ হলো b। অতএব, 

a² + b² = 2ab + (a - b)²

একইভাবে দ্বিপদ উপপাদ্যের ত্রিঘাত বা চতুর্ঘাত সমীকরণ তৈরি ইউক্লিড এর পক্ষে কঠিন কিছু ছিল না। স্বাভাবিক নিয়মেই তা আসতে পারতো। কিন্তু ইউক্লিড সেই সাধারণীকরণের ব্যাপারে আর আগ্রহ দেখাননি।

ডায়োফেন্টাস ও আর্যভট

দেখিয়েছিলেন ‘ডায়োফেন্টাস’। গ্রীক গণিতবিদ ডায়োফেন্টাস বা দিওফেন্তাস ২০১ ও ২১৫ খ্রিস্টাব্দের মাঝে কোন সময়ে জন্মগ্রহণ করেন এবং ৮৪ বছর বয়সে ২৮৫-২৯৯ খ্রিস্টাব্দের মধ্যে মারা যান। তিনি বিভিন্ন দ্বিপদ রাশির ত্রিঘাত রূপ, বিশেষ করে (n - 1) ³ এর সমাধান বের করেছিলেন। তবে এজন্য তাঁর কাছে কোন সাধারণ সূত্র ছিল কিনা তা জানা যায় না। আলেকজান্দ্রিয়ার ‘থিওন’ এবং ‘হিরো’ ও দ্বিপদ সমীকরণ নিয়ে কাজ করেছিলেন। থিয়ন ৩৯০ খ্রিস্টাব্দের মানুষ। ‘আর্যভট’ আরও প্রায় ১০০ বছর পরের মানুষ। কিন্তু তাঁর আর্যভটিয় থেকে জানা যায় তিনি দ্বিপদ সমীকরণের ত্রিঘাত সম্পর্কে অবহিত ছিলেন। আর্যভটিয়তে আছে—

‘Divide the second aghana place by thrice the square of the cube root; subtract from the first aghana place the square of the quotient multiplied by thrice the preceding (cube root) and (subtract) the cube (of the quotient) from the aghana place. The quotient put down at the next place (in the line of the root) gives the root.’

অর্থাৎ, ‘দ্বিতীয় অঘন স্থানকে ঘনমূলের বর্গের তিনগুণ দিয়ে ভাগ করুন; প্রথম অঘন স্থান থেকে পূর্ববর্তী (ঘনমূলের) তিনগুণের সাথে গুণ করা ভাগফলের বর্গ বিয়োগ করুন এবং অঘন স্থান থেকে (ভাগফলের) ঘন বিয়োগ করুন। (মূলের সারিতে) পরবর্তী স্থানে বসানো ভাগফলটিই মূল দেবে।’ 

এখানে ঘন শব্দ কিউবিক, প্রথম অঘন প্রথম নন-কিউবিক এবং দ্বিতীয় অঘন দ্বিতীয় নন-কিউবিক স্থান বোঝাতে ব্যবহৃত হয়েছে।

তাই প্রাচীন ভারতীয়রা যে দ্বিপদ সমীকরণের ত্রিঘাত সম্পর্কে অবহিত ছিলেন তা নিশ্চিত। তবে আরও উঁচু ঘাতের জ্ঞান তাদের ছিল কিনা তা নিয়ে নিশ্চিত করে কিছু বলা যায় না। 

খৈয়াম থেকে নিউটন

‘ওমর খৈয়াম’ একাদশ শতকের মানুষ (১০৪৮-১১৩১ খ্রি)। তাঁর লেখা থেকে দেখা যায়, 

“The Indians possess methods for finding the sides of squares and cubes. I have composed a treatise demonstrating the accuracy of these methods, and I have proven that they do, in fact, lead to the desired result. Furthermore, I have expanded the scope of these operations—that is to say, I have taught how to find the sides of the square-square, the cube-cube, and the square-cube, to any desired extent—something that had not been accomplished previously. The demonstrations I have provided in this context are purely arithmetical, grounded in the arithmetical sections of Euclid's ‘Elements’.”

এর বাংলা করলে হয়—

‘‘ভারতীয়দের কাছে বর্গক্ষেত্র ও ঘনকের বাহু নির্ণয়ের পদ্ধতি রয়েছে। এই পদ্ধতিগুলো যে নির্ভুল তা দেখানোর জন্য আমি একটি বই লিখেছি এবং আমি প্রমাণ করেছি যে এগুলো সত্যিই কাঙ্ক্ষিত লক্ষ্যে পৌঁছে দেয়। আমি এর প্রকারভেদও বৃদ্ধি করেছি, অর্থাৎ, আমি আমার বইতে বর্গক্ষেত্র, ঘনক এবং চতুর্ভুজ ঘনকের বাহুগুলো এমন যেকোনো মাত্রায় নির্ণয় করার পদ্ধতি শিখিয়েছি, যা পূর্বে করা হয়নি। এই উপলক্ষে আমি যে নিদর্শগুলো দেখিয়েছি, সেগুলো শুধুমাত্র পাটিগণিতিক, যা ইউক্লিডের ‘এলিমেন্টস’-এর পাটিগণিত অংশের উপর ভিত্তি করে করা হয়েছে।’’ 

প্রসঙ্গত বলে রাখি ওমর খৈয়াম এর একটি বিখ্যাত বীজগণিতের বই হল Treatise on Demonstration of problems of Algebra। জোহানেস ট্রফকে (Tropfke: ১৮৬৬-১৯৩৯), বিখ্যাত জার্মান গণিতজ্ঞ, খৈয়ামের এই বক্তব্যের পর নির্দ্বিধায় মন্তব্য করেছেন, ‘শেষ মন্তব্যটি স্পষ্টতই কেবল ইচ্ছামত উচ্চ সূচকের জন্য দ্বিপদী সম্প্রসারণের ব্যবহারের কথা উল্লেখ করে বলে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। যার ফলে আল খায়ামিকে তখন পূর্ণসংখ্যার সূচকের জন্য দ্বিপদী উপপাদ্যের আবিষ্কারক হিসাবে বিবেচনা করা হবে’।

আমরা যদিও ধরে নিচ্ছি খৈয়াম সকল উচ্চ ঘাতের দ্বিপদ সমীকরণের ফল নির্ণয় করতে পারতেন, কিন্তু এমন আশঙ্কাও থাকে যে তিনি দ্বিঘাত ও ত্রিঘাত থেকে চতুর্ঘাত, ষড়ঘাত বা নবঘাত নির্ণয় করতে পারতেন। কিন্তু সপ্তঘাত পারতেন কি? প্রশ্নের উত্তর পাওয়া সহজ নয়। কিন্তু তারও দুশো বছর পরে ১৩০০ খ্রিস্টাব্দ নাগাদ চিনা গণিতজ্ঞ ‘চু-শি-চিয়ে’ (Chu Shih Chieh) যে কোনো ধনাত্বক রাশির ঘাত সহ দ্বিপদ সমীকরণের সমাধান সূত্র দিয়েছিলেন তার পাটিগণিতিক ত্রিভুজের সাহায্যে। পরে এই ধারা বিস্তৃত হয়েছে ‘মিখাইল স্টিফেল’ ও ‘পাস্কেলে’র ত্রিভুজে। এই ধারায় সর্বশেষ কাজ ‘গ্রেগরী’ (১৬৭০) ও ‘নিউটনের’ (১৬৭৬)।

তাই এককথায়, নিউটনকে বাইনমিয়াল ক্যালকুলাসের জনক যেমন বলা যায় না, তেমনি ভারতে বাইনমিয়াল ক্যালকুলাস তৈরি হয়েছে এ দাবিও সত্য নয়। বাইনমিয়াল ক্যালকুলাস ধারাবাহিকভাবে বিকশিত হয়েছে, এবং সেখানে বহু দেশের গণিতবিদদের সুনির্দিষ্ট অবদান রয়েছে। তার মধ্যে ভারতীয়দের অবদান কম নয়। কিন্তু একথা সম্পূর্ণ সত্য নয় যে, আমাদের দেশেই বাইনোমিয়াল ক্যালকুলাস সৃষ্টি হয়েছে।